Lý thuyết Xác định miền nghiệm của bất phương trình hai ẩn

– Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Xét bất phương trình ax + by + c < 0. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm (x₀; y₀) sao cho ax_0­ + by₀ + c < 0 được gọi là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0.

– Phương pháp xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by + c < 0 như sau:

+ Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng Δ: ax + by + c = 0.

+ Bước 2: Lấy một điểm (x₀; y₀) không thuộc Δ. Tính ax_0­ + by₀ + c.

+ Bước 3: Kết luận:

Nếu ax_0­ + by₀ + c < 0 thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ Δ) chứa điểm (x₀; y₀).

Nếu ax_0­ + by₀ + c > 0 thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ Δ) không chứa điểm (x₀; y₀).

– Chú ý: Đối với các bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax + by + c ≤ 0 (hoặc ax + by + c ≥ 0) thì miền nghiệm là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0 (hoặc ax + by + c > 0) kể cả bờ. 

Ví dụ 1: Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau:

a) x – 2y + 3 > 0;

b) x + y – 2 ≥ 0.

Hướng dẫn giải:

a)

– Trên mặt phẳng Oxy vẽ đường thẳng Δ: x – 2y + 3 = 0 đi qua hai điểm A(1; 2) và B$\left(0;\frac{3}{2}\right)$.

– Xét gốc tọa độ O(0; 0). Ta thấy O không nằm trên đường thẳng Δ và 0 – 2.0 + 3 > 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ Δ, chứa gốc tọa độ O (miền màu xanh trên hình vẽ)

b)

– Trên mặt phẳng Oxy vẽ đường thẳng Δ: x + y – 2 = 0 đi qua hai điểm A(1; 1) và B(0; 2).

– Xét gốc tọa độ O(0; 0). Ta thấy O không nằm trên đường thẳng Δ và 0 + 0 – 2 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có kể bờ Δ, không chứa gốc tọa độ O (miền màu xanh trên hình vẽ).

Ví dụ 2: Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau:

a) 2x – 3y – 5 < 0;

b) x – y + 1 ≤ 0.

Hướng dẫn giải:

a)

– Trên mặt phẳng Oxy vẽ đường thẳng Δ: 2x – 3y – 5 = 0 đi qua hai điểm A(1; –1) và B$\left(0;\frac{-5}{3}\right)$.

– Xét gốc tọa độ O(0; 0). Ta thấy O không nằm trên đường thẳng Δ và 2.0 – 3.0 – 5 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ Δ, chứa gốc tọa độ O (miền màu xanh trên hình vẽ).

b)

– Trên mặt phẳng Oxy vẽ đường thẳng Δ: x – y + 1 = 0 đi qua hai điểm A(1; 2) và B(0; 1).

– Xét gốc tọa độ O(0; 0). Ta thấy O không nằm trên đường thẳng Δ và 0 – 0 + 1 > 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có kể bờ Δ, không chứa gốc tọa độ O (miền màu xanh trên hình vẽ).