Lý thuyết So sánh hai mẫu số liệu tương đồng và xem xét mẫu nào ổn định hơn

- Ý nghĩa của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị:

+ Khoảng biến thiên đặc trưng cho độ phân tán của toàn bộ mẫu số liệu.

+ Khoảng tứ phân vị đặc trưng cho độ phân tán của một nửa các số liệu, có giá trị thuộc đoạn từ Q₁ đến Q₃ trong mẫu.

+ Khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị rất lớn hoặc rất bé trong mẫu.

Do đó khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị càng lớn thì các giá trị của mẫu càng cách xa nhau và mô hình kém ổn định hơn.

- Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn:

+ Phương sai là trung bình cộng của các bình phương độ lệch từ mỗi giá trị của mẫu số liệu đến số trung bình.

+ Phương sai và độ lệch chuẩn được dùng để đo mức độ phân tán của các mẫu số liệu trong mẫu quanh số trung bình. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì các giá trị của mẫu càng cách xa nhau và mô hình kém ổn định hơn.

- Sử dụng các công thức xác định khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn của các mẫu rồi tiến hành so sánh và đưa ra nhận xét.

Ví dụ 1: Điểm kiểm tra môn Toán của hai bạn Trung và Long trong 6 lần thi thử được thống kê trong bảng dưới đây:

Sử dụng kiến thức về khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị, xác định xem điểm bạn nào ổn định hơn?

Hướng dẫn giải:

- Sắp xếp điểm số của Trung trong 6 lần thi thử theo thứ tự không giảm ta có:

5; 6; 7; 8; 8; 9.

+ Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu trên là 5.

+ Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu trên là 9.

Suy ra khoảng biến thiên R_T = 9 – 5 = 4.

Ta lại có:

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 5; 6; 7.

Do đó Q_1T = 6.

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 8; 8; 9.

Do đó Q_3T = 8.

Suy ra khoảng tứ phân vị ∆_QT = Q_3T – Q_1T = 8 – 6 = 2.

- Sắp xếp điểm số của Long trong 6 lần thi thử theo thứ tự không giảm ta có:

4; 6; 6; 8; 8; 9.

+ Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu trên là 4.

+ Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu trên là 9.

Suy ra khoảng biến thiên R_L = 9 – 4 = 5.

Ta lại có:

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 4; 6; 6.

Do đó Q_1L = 6.

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 8; 8; 9.

Do đó Q_3L = 8.

Suy ra khoảng tứ phân vị ∆_QL = Q_3L – Q_1L = 8 – 6 = 2.

Ta thấy khoảng biến thiên trong điểm của Trung bé hơn điểm của Long nên điểm của Trung ổn định hơn. Còn nếu dùng khoảng tứ phân vị thì ta thấy sự chênh lệch điểm số của hai bạn là như nhau.

Ví dụ 2: Điểm kiểm tra môn Toán của hai bạn Trung và Long trong 6 lần thi thử được thống kê trong bảng dưới đây:

Sử dụng kiến thức về phương sai và độ lệch chuẩn, xác định xem điểm bạn nào ổn định hơn? (làm tròn các kết quả đến hàng phần trăm)

Hướng dẫn giải:

- Điểm trung bình qua 6 lần thi thử của Trung là:

$\overline{x_T}=\frac{5+8+7+6+9+8}{6}\approx 7,17$.

Công thức tính phương sai của một mẫu số liệu là:

S² =$\frac{1}{n}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+...+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right]$

Thay số ta có:

 $S_T^2=\frac{1}{6}$ [(5 – 7,17)² + (8 – 7,17)² + (7 – 7,17)² + (6 – 7,17)² + (9 – 7,17)² + (8 – 7,17)²] ≈ 1,81.

Do đó phương sai của mẫu số liệu trên là 1,81.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là S_T =$\sqrt{S_T^2}$ = $\sqrt{1,81}$ ≈ 1,35.

- Điểm trung bình qua 6 lần thi thử của Long là:

$\overline{x_L}=\frac{8+4+6+8+9+6}{6}\approx 6,83$

Công thức tính phương sai của một mẫu số liệu là:

S² = $\frac{1}{n}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+...+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right]$

Thay số ta có:

 $S_L^2=\frac{1}{6}$ [(8 – 6,83)² + (4 – 6,83)² + (6 – 6,83)² + (8 – 6,83)² + (9 – 6,83)² + (6 – 6,83)²] ≈ 2,81.

Do đó phương sai của mẫu số liệu trên là 2,81.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là S =$\sqrt{S_L^2}=\sqrt{2,81}$ ≈ 1,68.

Ta thấy phương sai và độ lệch chuẩn trong điểm của Trung bé hơn điểm của Long nên điểm của Trung ổn định hơn