Lý thuyết Xác định vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến của đường thẳng, hệ số góc của đường thẳng

Bài toán 1: Xác định vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.

Để giải được bài toán trên, ta làm như sau:

Bước 1. Xác định xem phương trình đường thẳng d được cho ở dạng nào: phương trình tổng quát hay phương trình tham số.

Bước 2. Xác định vectơ chỉ phương (VTCP), vectơ pháp tuyến (VTPT), hệ số góc của đường thẳng d:

⦁ Nếu phương trình đường thẳng d có dạng: ax + by + c = 0 thì phương trình đường thẳng d nhận vectơ  làm VTPT.

⦁ Nếu phương trình đường thẳng d có dạng: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+u_{1}t\\ y=y_0+u_{2}t\end{array}\right.$  thì phương trình đường thẳng d nhận vectơ $\overrightarrow{u}=\left(u_1;u_2\right)$ làm VTCP.

Chú ý:

• Vectơ $\overrightarrow{n}$  khác $\overrightarrow{0}$  được gọi là VTPT của đường thẳng d nếu giá của nó vuông góc với đường thẳng d.

• Nếu $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ là VTPT của đường thẳng d: ax + by + c = 0 thì $\overrightarrow{ku }\left(k\ne 0\right)$  cũng là VTPT của đường thẳng d.

• Vectơ $\overrightarrow{u}$  khác $\overrightarrow{0}$ được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu giá của nó song song hoặc trùng với đường thẳng d.

• Nếu $\overrightarrow{u}=\left(u_1;u_2\right)$ là VTCP của đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+u_{1}t\\ y=y_0+u_{2}t\end{array}\right.$  thì $\overrightarrow{ku }\left(k\ne 0\right)$ cũng là VTCP của đường thẳng d.

• Nếu $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ là một VTPT của đường thẳng d thì $\overrightarrow{u}=\left(‐b;a\right)$  hoặc $\overrightarrow{u}=\left(b;‐a\right)$ là một VTCP của đường thẳng d.

Bài toán 2: Xác định hệ số góc của đường thẳng d.

Bước 1. Xác định VTPT hoặc VTCP của đường thẳng d.

Bước 2. Xác định hệ số góc của đường thẳng

⦁ Nếu đường thẳng d có VTPT là $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$  thì đường thẳng d có hệ số góc là $k=‐\frac{a}{b} \left(b\ne 0\right)$ .

⦁ Nếu đường thẳng d có VTCP là  thì đường thẳng d có hệ số góc là $k=\frac{u_2}{u_1} \left(u_1\ne 0\right)$ .

Ví dụ 1. Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng d: 2x – 3y + 5 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d: 2x – 3y + 5 = 0 có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}=\left(2;‐3\right)$ .

Ví dụ 2. Cho đường thẳng $\left\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=‐3-t\end{array}\right.$. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng $\left\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=‐3-t\end{array}\right.$  có một vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{n}=\left(3;‐1\right)$.

Ví dụ 3. Xác định hệ số góc của mỗi đường thẳng sau:

a) $\left(d\right): x-2y+3=0;$

b) $\left(d\text{'}\right): \left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=‐6t\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải:

a) Đường thẳng $\left(d\right): x-2y+3=0;$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}=\left(1;‐2\right)$

Khi đó đường thẳng $\left(d\right): x-2y+3=0;$  có hệ số góc là $k=‐\frac{1}{‐2}=\frac{1}{2}$

b) Đường thẳng $\left(d\text{'}\right): \left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=‐6t\end{array}\right.$ có một vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u}=\left(2;‐6\right)$

Khi đó đường thẳng $\left(d\text{'}\right): \left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=‐6t\end{array}\right.$  có hệ số góc là $k=\frac{‐6}{3}=‐3$.