Lý thuyết Xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai

– Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức có dạng ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những số thực cho trước (với a ≠ 0), được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai.

– Định lí về dấu của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0).

Δ = b2 – 4ac.

⦁ Nếu Δ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ℝ .

⦁ Nếu Δ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $X\ne ‐\frac{b}{2a}$

⦁ Nếu Δ > 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 (x1 < x2).

  Khi đó, f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ (–∞; x1) ∪ (x2; +∞);

                   f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x ∈ (x1; x2).

Chú ý: Ta có thể dùng Δ’ = b’2 – 4ac với $b\text{'}=\frac{b}{2}$ thay cho Δ khi hệ số b là số chẵn.

– Phương pháp xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai:

+ Nếu biểu thức f(x) là tam thức bậc hai thì ta sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của biểu thức đó.

   Bước 1. Tính và xác định dấu của biệt thức ∆;

   Bước 2. Xác định nghiệm của f(x) (nếu có);

   Bước 3. Xác định dấu của hệ số a;

   Bước 4. Xác định dấu của f(x) theo định lí về dấu của tam thức bậc hai.

+ Nếu biểu thức f(x) là tích, thương các nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai thì ta thực hiện theo các bước sau:

   Bước 1. Tìm nghiệm của f(x) = 0 và những giá trị f(x) không xác định.

   Bước 2. Lập bảng xét dấu của f(x).

   Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

Ví dụ 1. Xét dấu của mỗi tam thức sau:

a) f(x) = x2 – 5x + 11;

b) f(x) = x2 – 4x + 4;

c) f(x) = –3x2 – 2x + 5.

Hướng dẫn giải:

a) f(x) = x2 – 5x + 11 có hệ số: a = 1; b = –5; c = 11.

Do đó Δ = b2 – 4ac = (–5)2 – 4.1.11 = –19 < 0.

Mà hệ số a = 1 > 0.

Vậy f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ.

b) f(x) = x2 – 4x + 4 có hệ số: a = 1; b = –4; c = 4.

Do đó Δ = b2 – 4ac = (–4)2 – 4.1.4 = 0.

Ta có f(x) có nghiệm kép x = 2 và hệ số a = 1 > 0.

Vậy f(x) > 0 với mọi x ≠ 2 và f(x) = 0 với x = 2.

c) f(x) = –3x2 – 2x + 5 có hệ số: a = –3; b = –2; c = 5.

Do đó Δ = b2 – 4ac = (–2)2 – 4.(–3).4 = 52 > 0

f(x) có hai nghiệm $x_1=‐\frac{5}{3}$; x2 = 1 và hệ số a = –3 < 0.

Ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) > 0 khi x ∈ $\left(‐\frac{5}{3};1\right)$

       f(x) < 0 khi x ∈ $\left(-\infty ;‐\frac{5}{3}\right)\cup \left(1;+\infty \right)$

        f(x) = 0 khi x ∈ $\left(‐\frac{5}{3};1\right)$

Ví dụ 2. Xét dấu các biểu thức sau:

a) f(x) = x3 + 3x2 – 6x – 8;                  

b) f(x) = (3x – 5)(x2 – 4)( –2x2 + x + 3);

c) $f\left(x\right)=x-\frac{x^2-x+6}{‐x^2+3x+4}$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: f(x) = x3 + 3x2 – 6x – 8 = (x – 2)(x2 + 5x + 4)

f(x) = 0 ⇔ (x – 2)(x2 + 5x + 4) = 0

⦁ x – 2 = 0 ⇔ x = 2.

⦁ x2 + 5x + 4 = 0 ⇔ x = –4 hoặc x = –1.

Lập bảng xét dấu:

Vậy f(x) > 0 khi x ∈ (–4; –1) ∪ (2; +∞);

       f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; –4) ∪ (–1; 2);

       f(x) = 0 khi x ∈ {–4; –1; 2}.

b) f(x) = (3x – 5)(x2 – 4)( –2x2 + x + 3)

Ta có:

3x – 5 = 0 ⇔ x = $\frac{5}{3}$

x2 – 4 = 0 ⇔ x = –2 hoặc x = 2;

–2x2 + x + 3 = 0 ⇔ x = –1 hoặc $x=\frac{3}{2}$

Bảng xét dấu:

Vậy f(x) > 0 khi  $x\in \left(-\infty ;‐2\right)\cup \left(‐1;\frac{3}{2}\right)\cup \left(\frac{5}{3};2\right)$

        f(x) < 0 khi $x\in \left(‐2;‐1\right)\cup \left(\frac{3}{2};\frac{5}{3}\right)\cup \left(2;+\infty \right)$

        f(x) = 0 khi $x\in \left(‐2;‐1;\frac{3}{2};\frac{5}{3};2\right)$

c) Ta có $f\left(x\right)=x-\frac{x^2-x+6}{‐x^2+3x+4}=\frac{‐x+2x^2+5x-6}{‐x^2+3x+4}=\frac{\left(x-1\right)\left(‐x^2+x+6\right)}{‐x^2+3x+4}$

x – 1 = 0 ⇔ x = 1

–x2 + x + 6 = 0 ⇔ x = –2 hoặc x = 3.

–x2 + 3x + 4 = 0 ⇔ x = –1 hoặc x = 4.

Bảng xét dấu:

Vậy f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; –2) ∪ (–1; 1) ∪ (3; 4);

        f(x) > 0 khi x ∈ (–2; –1) ∪ (1; 3) ∪ (4; +∞);

        f(x) = 0 khi x ∈ {–2; 1; 3}.