Lý thuyết Ứng dụng của hàm số bậc hai để giải bài toán thực tế

- Sử dụng các dữ kiện đề bài, các kiến thức về đồ thị hàm số bậc hai để tìm công thức hàm số bậc hai theo dạng f(x) = ax² + bx + c để thực hiện yêu cầu bài toán.

- Một số bài toán thường gặp: Cho vật có hình dạng parabol, từ các dữ kiện, lập phương trình parabol và giải quyết các yêu cầu khác. 

- Bài toán tầm bay cao và tầm bay xa: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn điểm có tọa độ (0; y₀) là điểm xuất phát thì phương trình quỹ đạo của vật bay khi rời khỏi điểm xuất phát là:

$y=\frac{‐g{x}^2}{2{v^2}_0.{\cos }^2\alpha }+\tan \left(\alpha \right).x+y_0$

Trong đó:

g là gia tốc trọng trường (thường được chọn là 9,8 m/s²)

α là góc xuất phát (so với phương ngang của mặt đất)

v₀ là vận tốc ban đầu của vật

y₀ là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất.

Quỹ đạo chuyển động của vật là một parabol.

Vật chuyển động theo quỹ đạo là parabol nên sẽ:

+ Đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol, gọi là tầm bay cao;

+ Rơi chạm đất cách nơi đứng ném vật một khoảng, gọi là tầm bay xa.

Ví dụ 1. Một người chơi cầu lông có khuynh hướng phát cầu với góc 30° (so với mặt đất). Hãy tính khoảng cách từ vị trí người này đến vị trí cầu rơi chạm đất (tầm bay xa), biết cầu rời mặt vợt ở độ cao 0,7 m so với mặt đất và vận tốc ban đầu của cầu là 8 m/s (bỏ qua sức cản của gió và xem quỹ đạo của cầu luôn nằm trong mặt phẳng thẳng đứng).

Hướng dẫn giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy.

Với g = 9,8 m/s², góc phát cầu α = 30°, vận tốc ban đầu v₀ = 8 m/s, phương trình quỹ đạo của cầu là:

Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của parabol và trục hoành nên giải phương trình

$\frac{‐4,9}{48}{x}^2+\frac{\sqrt{3}}{3x}+0,7=0$ ta được x₁ ≈ –1,03 và x₂ ≈ 6,68

Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất khoảng 6,68 m.

Ví dụ 2. Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song.

Dựa vào bản vẽ ở Hình 14, hãy tính chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên. Biết:

– Dây dài nhất là 5m, dây ngắn nhất là 0,8 m. Khoảng cách giữa các dây bằng nhau.

– Nhịp cầu dài 30 m.

– Cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định.

Hướng dẫn giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Trong đó, khoảng cách giữa các dây bằng nhau và có 20 khoảng cách nên mỗi khoảng cách ứng với 1,5 m.

Gọi dạng parabol của thành cầu là đồ thị của hàm số y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 0,8) nên ta có:

a.0² + b.0 + c = 0,8 ⇒ c = 0,8

Tại hai đầu cầu, tức y = 5 thì ta có hai giá trị x thỏa mãn là x₁ = –15 và x₂ = 15

Từ đó ta có:

a.(–15)² + b.(–15) + 0,8 = 5 ⇒ 225a – 15b = 4,2 (1)

a.15² + b.15 + 0,8 = 5 ⇒ 225a + 15b = 4,2 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình  $\left\{\begin{array}{l}225a-15b=4,2\\ 225a+15b=4,2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{7}{375}\\ b=0\end{array}\right.$

Vậy phương trình parabol cần tìm là: $y=\frac{7}{375}{x}^2+0,8$

Độ dài mỗi dây ở vị trí hoành độ tương ứng là:

Tại x = 0, độ dài dây là: 0,8 + 5%.0,8 = 0,84 (m)

Tại x = 1,5 và x = –1,5 thì độ dài dây là:

Tại x = 15 và x = –15 thì độ dài dây là:

5 + 5%.5 = 5,25 (m)

Chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên của cầu là:

2.0,84 + 4 . (0,8841 + 1,0164 + 1,2369 + 1,5456 + 1,9425 + 2,4276 + 3,0009 + 3,6624 + 4,4121 + 5,25) = 103,194 (m).