Lý thuyết Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc

Bài toán: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(x0; y0) và tạo với đường thẳng ∆ một góc α cho trước

Để giải được bài toán trên, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Gọi $\overrightarrow{n}\left(A;B\right)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d (với $A^2$ + $B^2$ ≠ 0).

Tìm vectơ pháp tuyến  của đường thẳng ∆.

Bước 2. Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng d và ∆ ta có:

$\cos \alpha =\frac{\left|AA\text{'}+BB\text{'}\right|}{\sqrt{A^2+B^2}.\sqrt{A{\text{'}}^2+B{\text{'}}^2}}$

Giải phương trình trên ta được A = kB. Ta chọn B, suy ra A.

Bước 3. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(x0; y0) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}\left(A;B\right)$

Chú ý: Nếu đường thẳng d có hệ số góc là k và đi qua điểm M(x0; y0) thì có phương trình:

y – y0 = k(x – x0).

Ví dụ 1. Cho đường thẳng ∆: 3x – 2y + 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2) và tạo với đường thẳng ∆ một góc 45°.

Hướng dẫn giải:

Cách 1. Gọi ${\overrightarrow{n}}_d\left(A;B\right)$  là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d (với $A^2$ + $B^2$ ≠ 0).

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2) và nhận ${\overrightarrow{n}}_d\left(A;B\right)$ là vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

A(x – 1) + B(y – 2) = 0 hay Ax + By – A – 2B = 0.

Đường thẳng ∆: 3x – 2y + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{∆}\left(3;‐2\right)$.

Để d tạo với ∆ một góc 45° thì $\cos 45°=\frac{\left|3A-2B\right|}{\sqrt{3^2+{\left(‐2\right)}^2}.\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \frac{\left|3A-2B\right|}{\sqrt{13}.\sqrt{A^2}+B^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff 2\left|3A-2B\right|=\sqrt{26}.\sqrt{A^2+B^2}$

⇔ 4(3A – 2B${)}^2$ = 26($A^2$ + $B^2$)

⇔ 4(9$A^2$ – 12AB + 4$B^2$) = 26$A^2$ + 26$B^2$

⇔ 10$A^2$ – 48AB – 10$B^2$ = 0

⇔ A = 5B hoặc $A=‐\frac{1}{5}B$

⦁ Với A = 5B, chọn B = 1 ta có A = 5.

Khi đó phương trình đường thẳng d là 5x + y – 5 – 2 = 0 hay 5x + y – 7 = 0.

⦁ Với $A=‐\frac{1}{5}B$ , chọn B = –5 ta có A = 1.

Khi đó phương trình đường thẳng d là x – 5y – 1 – 2.(–5) = 0 hay x – 5y + 9 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng d là 5x + y – 7 = 0 hoặc x – 5y + 9 = 0.

Cách 2. Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d.

Phương trình đường thẳng d được viết dưới dạng: y – 2 = k(x – 1) hay kx – y + 2 – k = 0.

Khi đó đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_d\left(k;‐1\right)$.

Đường thẳng ∆: 3x – 2y + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{∆}\left(3;‐2\right)$ .

$\iff 5k^2+24k-5=0\iff \left[\begin{array}{c}k=\frac{1}{5}\\ k=‐5\end{array}\right]$

Vậy phương trình đường thẳng d là: $\frac{1}{5}x-y+2-\frac{1}{5}=0$  hoặc –5x – y + 2 – (–5) = 0, tức là x – 5y + 9 = 0 hoặc 5x + y – 7 = 0.

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và tạo với đường thẳng Δ: x – 2y – 3 = 0 một góc 60°.