Lý thuyết Một số bài toán liên quan đến diện tích

Bài toán: Cho tam giác ABC biết tọa độ 3 đỉnh A, B, C. Tính diện tích tam giác ABC.

Để giải được bài toán trên, ta thực hiện theo hai cách sau:

Cách 1. Tính diện tích tam giác ABC dựa vào góc:

Bước 1. Tính tọa độ $\overrightarrow{AB}$$,\overrightarrow{AC}$  và độ dài AB, AC.

Bước 2. Tính cosA bằng cách tính cosin góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$

Bước 3. Tính sinA.

$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}$

Bước 4. Tính diện tích tam giác ABC:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A.$

Chú ý: Nếu $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AC}$  thì tam giác ABC vuông tại A, khi đó 

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.$

Cách 2. Tính diện tích tam giác ABC dựa vào khoảng cách:

Bước 1. Tính tọa độ $\overrightarrow{AB}$ suy ra ${\overrightarrow{n}}_{AB}.$

Bước 2. Viết phương trình đường thẳng AB đi qua A (hoặc B) và nhận  làm vectơ pháp tuyến.

Bước 3. Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB.

Bước 4. Tính diện tích tam giác ABC:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}d \left(C,AB\right).AB$

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(2; 3) và C(–3; –4). Tính diện tích tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 2. Cho đường thẳng đi qua hai điểm A(3; 0) và B(0; 4). Tìm tọa độ điểm M nằm trên Oy sao cho diện tích tam giác MAB bằng 6.

Hướng dẫn giải:

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(3; 0) và B(0; 4) là:

$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1\iff 4x+3y-12=0$

Gọi M(0; m) thuộc vào Oy.

Khi đó d(M, AB) = $\frac{\left|3m-12\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{\left|3m-12\right|}{5}$ .

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(‐3; 4\right)$ nên $AB=\sqrt{{\left(‐3\right)}^2+4^2}=5$

Diện tích tam giác MAB bằng 6 nên: $\frac{1}{2}d \left(M, AB\right).AB=6$

Do đó $\frac{1}{2}.5.\frac{\left|3m-12\right|}{5}=6\iff \left|3m-12\right|=12\iff \left\{\begin{array}{l}3m=0\\ 3m=24\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=0\\ m=8\end{array}\right.$ .

Khi đó tọa độ của điểm M là M(0; 0) hoặc M(0; 8).