Lý thuyết Viết phương trình cạnh, đường cao, trung tuyến, phân giác của tam giác

Bài toán 1. Viết phương trình cạnh của tam giác ABC khi biết:

a) tọa độ 3 đỉnh A, B, C

Bước 1. Tính tọa độ của  $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}$.

Bước 2. Viết phương trình cạnh của tam giác ABC

⦁ Phương trình cạnh AB đi qua A và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}$ .

⦁ Phương trình cạnh AC đi qua A và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AC}$ .

⦁ Phương trình cạnh BC đi qua B và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BC}$ .

b) tọa độ một đỉnh và hai đường cao xuất phát từ hai đỉnh còn lại

Chẳng hạn: Biết tọa độ đỉnh A và 2 đường cao BH, CK.

Bước 1.  ⦁ Viết phương trình đường thẳng cạnh AB đi qua A và vuông góc với CK.

              ⦁ Viết phương trình đường thẳng cạnh AC đi qua A và vuông góc với BH.

Bước 2. Tìm tọa độ điểm B và C:

⦁ Điểm B là giao điểm của hai đường thẳng AB và BH;

⦁ Điểm C là giao điểm của hai đường thẳng AC và CK.

Bước 3. Lập phương trình đường thẳng cạnh BC.

c) tọa độ 1 đỉnh và 2 đường trung tuyến xuất phát từ hai đỉnh còn lại

Chẳng hạn: Biết tọa độ đỉnh A và 2 đường trung tuyến BM, CN.

Cách 1:

Bước 1. Tìm tọa độ trọng tâm G($x_G$; $y_G$) của tam giác ABC, là giao điểm của hai đường trung tuyến BM và CN.

Bước 2. Tham số hóa tọa độ B(xB; yB) và C(xC; yC) theo phương trình của đường thẳng BM và CN.

Bước 3. Tìm tọa độ của B và C theo công thức:

$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}$.

Bước 4. Viết phương trình đường thẳng các cạnh của tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh của tam giác.

Cách 2:

Bước 1. Tìm tọa độ trọng tâm G(xG; yG) của tam giác ABC, là giao điểm của hai đường trung tuyến BM và CN.

Bước 2. Xác định điểm P đối xứng với điểm A qua G theo công thức trung điểm. Khi đó tứ giác BGCP là hình bình hành.

Bước 3. Lập phương trình đường thẳng PC qua P và song song với trung tuyến BM.

              Khi đó C là giao điểm của PC với CN.

Bước 4. Lập phương trình đường thẳng PB qua B và song song với trung tuyến CN.

              Khi đó B là giao điểm của PB với BM.

Bước 5. Viết phương trình đường thẳng các cạnh của tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh của tam giác.

d) tọa độ trung điểm các cạnh

Giả sử trung điểm các cạnh BC, AC, AB lần lượt là M, N, P.

Bước 1.  Tính các vectơ  $\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{NP}, \overrightarrow{PM}$.

Bước 2. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC dựa vào các yếu tố sau:

⦁ Đường thẳng AB đi qua P và song song với MN nên nhận $\overrightarrow{MN}$ làm vectơ chỉ phương;

⦁ Đường thẳng AC đi qua N và song song với PM nên nhận $\overrightarrow{NP}$  làm vectơ chỉ phương;

⦁ Đường thẳng BC đi qua M và song song với NP nên nhận $\overrightarrow{PM}$ làm vectơ chỉ phương.

Bài toán 2. Viết phương trình đường cao, trung tuyến, phân giác khi biết tọa độ các đỉnh của tam giác.

a) Viết phương trình đường cao khi biết tọa độ 3 đỉnh của tam giác

Bước 1. Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{CA}$.

Bước 2. Viết phương trình đường cao của tam giác:

⦁ Phương trình đường cao AH đi qua điểm A và vuông góc với BC nên sẽ nhận $\overrightarrow{BC}$ làm vectơ pháp tuyến.

⦁ Phương trình đường cao BK đi qua điểm B và vuông góc với AC nên sẽ nhận $\overrightarrow{AC}$ làm vectơ pháp tuyến.

⦁ Phương trình đường cao CI đi qua điểm C và vuông góc với AB nên sẽ nhận $\overrightarrow{AB}$ làm vectơ pháp tuyến.

b) Viết phương trình trung tuyến khi biết tọa độ 3 đỉnh của tam giác

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB.

Bước 1. Tìm tọa độ trung điểm của các cạnh dựa vào công thức tọa độ trung điểm.

Bước 2.  Viết phương trình trung tuyến của tam giác

⦁ Phương trình đường trung tuyến AM đi qua điểm A và nhận vectơ $\overrightarrow{AM}$ làm vectơ chỉ phương.

⦁ Phương trình đường trung tuyến BN đi qua điểm B và nhận vectơ $\overrightarrow{BN}$ làm vectơ chỉ phương.

⦁ Phương trình đường trung tuyến CP đi qua điểm C và nhận vectơ $\overrightarrow{CP}$ làm vectơ chỉ phương.

c) Viết phương trình đường phân giác khi biết tọa độ 3 đỉnh của tam giác

Chẳng hạn: Viết phương trình đường phân giác AD (D ∈ BC) của góc A khi biết tọa độ ba đỉnh A, B, C.

Cách 1: (Sử dụng tính chất đường phân giác của một góc).

Bước 1. Tính độ dài đoạn thẳng AB và AC.

Bước 2. Tính tỉ số $\frac{DB}{DC}$ dựa vào tính chất đường phân giác của một góc: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$.

Từ đó suy ra tỉ số $\frac{DB}{BC}=k$

Bước 3. Từ tỉ số $\frac{DB}{BC}=k$ suy ra $\overrightarrow{DB}=‐k\overrightarrow{BC}$

Bước 4. Tìm tọa độ điểm D.

              Gọi D(x0; y0), tính $\overrightarrow{DB}, \overrightarrow{BC}$ Từ đó tìm được tọa độ điểm D.

Bước 5.  Viết phương trình đường phân giác AD đi qua hai điểm A, D.

Cách 2: (Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng).

Bước 1. Gọi D(x0; y0).

Bước 2. Viết phương trình đường thẳng AB và AC.

Bước 3. Tính khoảng cách d1 và d2 từ D tới đường thẳng AB, AC.

Bước 4. Giải phương trình d1 = d2. Ta tìm được 2 phương trình đường phân giác của tam giác.

Bước 5. Lấy tọa độ điểm B và điểm C thay vào một trong hai phương trình, sau đó xét tích của chúng.

⦁ Nếu tích dương thì đó là đường phân giác ngoài.

⦁ Nếu tích âm thì đó là đường phân giác trong.

Chú ý: Ta sử dụng Cách 2 khi đã được học cách tính khoảng cách từ một điểm M(x0; y0) đến một đường thẳng d: ax + by + c = 0.

$d\left(M;d\right)=\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; –1), B(4; 5), C(–3; 2).

a) Viết phương trình đường thẳng AC.

b) Viết phương trình tổng quát của đường cao AH của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

a) Với A(2; –1) và C(–3; 2) ta có $\overrightarrow{AC}=\left(‐5;3\right)$.

Đường thẳng AC đi qua điểm A(2; –1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AC}=\left(‐5;3\right)$ nên có phương trình là: $\left\{\begin{array}{l}x=2-5t\\ y=‐1+3t\end{array}\right.$.

b) Vì AH là đường cao của tam giác nên AH vuông góc với BC.

Với B(4; 5) và C(–3; 2) ta có $\overrightarrow{BC}=\left(‐7;‐3\right).$

Đường thẳng AH đi qua điểm A(2; –1) và nhận vectơ $\overrightarrow{BC}=\left(‐7;‐3\right).$  làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là: –7(x – 2) – 3(y + 1) = 0 tức là –7x – 3y + 11 = 0, hay 7x + 3y – 11 = 0.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 0) và C(–2; –1).

a) Viết phương trình đường thẳng AB.

b) Viết phương trình đường trung tuyến kẻ từ B.

Hướng dẫn giải:

a) Với A(1; 2) và B(3; 0) ta có $\overrightarrow{AB}=\left(2;‐2\right)$.

Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left(2;‐2\right)$ nên có phương trình là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2-2t\end{array}\right.$.

b) Gọi N là trung điểm của AC. Khi đó: $N\left(‐\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ .

Với $N\left(‐\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ và B(3; 0), ta có $\overrightarrow{NB}\left(\frac{7}{2};‐\frac{1}{2}\right)$.

Đường trung tuyến BN đi qua điểm B(3; 0) và nhận $\overrightarrow{NB}\left(\frac{7}{2};‐\frac{1}{2}\right)$  làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là: $\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{7}{2}t\\ y=‐\frac{1}{2}t\end{array}\right.$