Lý thuyết Xác định giá trị của m để hàm số bậc hai đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất tại một số cho trước

Xét hàm số bậc hai: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Biệt thức ∆ = b² – 4ac.

- Khi a > 0, hàm số bậc hai đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{‐∆}{4a}$ tại $x=\frac{‐b}{2a}$ và hàm số có tập giá trị là $T=\left[\frac{‐∆}{4a};+\infty \right]$.

- Khi a < 0, hàm số bậc hai đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{‐∆}{4a}$ tại $x=\frac{‐b}{2a}$ và hàm số có tập giá trị là $T=\left[-\infty ;\frac{‐∆}{4a}\right]$.

Khi đó, với hàm số được cho dưới dạng chứa tham số m, ta tính giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất)  theo tham số m, rồi cho bằng giá trị của đề bài yêu cầu, từ đó suy ra giá trị của m.

Ví dụ 1. Cho hàm số y = 2x² + x + m. Hãy xác định giá trị của m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = 2x² + x + m có:

$\frac{‐b}{2a}=\frac{‐1}{2.2}=\frac{‐1}{4}$ 

$\frac{‐∆}{4a}=\frac{‐(b^2-4ac)}{4a}=\frac{‐(1^2-4.2.m)}{4.2}=\frac{‐1+8m}{8}=\frac{‐1}{8}+m$

Ta có, a = 2 > 0 nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là $‐\frac{1}{8}+m tại x=‐\frac{1}{4}$.

Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi và chỉ khi $‐\frac{1}{8}+m=5\iff m=\frac{41}{8}$

Vậy $m=\frac{41}{8}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = –x² + 5x + m. Hãy xác định giá trị của m để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 12.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = –x² + 5x + m có:

 $\frac{‐b}{2a}=\frac{‐5}{2.(‐1)}=\frac{5}{2}$

$\frac{‐∆}{4a}=\frac{‐\left(b^2-4ac\right)}{a}=\frac{‐\left(5^2-4.(‐1).m\right)}{4.(‐1)}=\frac{‐25-4m}{‐4}=\frac{25}{4}+m$

Ta có, a = –1 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là $\frac{25}{4}+m$ tại$x=\frac{5}{2}$ .

Để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 12 khi và chỉ khi $\frac{25}{4}+m=12\iff m=\frac{23}{4}$

Vậy $m=\frac{23}{4}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.